Вопросы по курсу "Дифференциальные уравнения". Факультет К, 4 семестр

 

Определение ОДУ. Порядок ОДУ. Решение ОДУ. Интегральная кривая. Задача Коши и её геометрическая интерпретация. Примеры.

Общий вид ОДУ первого порядка, общее решение, общий интеграл ОДУ первого и n-го порядков. 

Ломанные Эйлера. Теорема Арцеля. Теорема Осгуда о единственности решения. Условие Липшица.

 Лемма о выполнении условия Липшица для функций, имеющих всюду в области ограниченную частную производную.

Лемма о Чаплыгина. Лемма об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению. Лемма Гронуолла-Беллмана.

Метод последовательных приближений. Принцип сжатых отображений

Теорема о степени гладкости решения ОДУ. Теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от параметра и начальных условий.

Постановка задачи Коши для ОДУ первого порядка, для систем ОДУ первого порядка, для ОДУ n-го порядка. Понятие корректно поставленной задачи по Адамару.

Теорема о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.

Методы решения ОДУ с разделяющимися переменными, Однородные ОДУ.

Решение линейных ОДУ методом вариации постоянной, методом Бернулли и методом интегрирующего множителя.

Структура  решения  линейного неоднородного ОДУ. Принцип суперпозиции.

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.Уравнение Бернулли.

Уравнение Риккати, нахождение общего решения по известному частному решению.Нахождение общего интеграла уравнения Риккати, если известны два частных решения.

ОДУ I порядка, не разрешённые относительно производной Примеры. Метод введения параметра.

Уравнения Лагранжа и Клеро. Особое решение. Огибающая семейства кривых. Пример не единственности решения задачи Коши.

Достаточное условие существования и единственности решения ОДУ I порядка, не разрешённого относительно производной

Особые решения ОДУ,  p- и С- дискриминантные кривые. Точки: заострения(возврата), прикосновения и  узловые точки решения ОДУ.  Примеры.

ОДУ высших порядков, случаи, допускающие понижение порядка уравнения. Классификация особых точек (узел, седло, центр, фокус…)

Вектор-функции и действия с ними. Условие Липшица. Линейное пространство вектор-функций. Норма вектор-функции.

Метрика и метрическое пространство. Полное метрическое пространство.

Система ОДУ первого порядка в нормальной форме. Задача Коши. Геометрическая интерпретация решения задачи Коши.

Доказательство ТСЕ решения системы ОДУ первого порядка, используя принцип сжатых отображений.

Линейное пространство решений линейной однородной системы ОДУ в нормальной форме и его размерность.

ФСР линейной однородной системы ОДУ. Общее решение. Структура общего решения однородной системы.

Определитель Вронского системы вектор-функций и решений системы ОДУ.

Общее решение неоднородной системы линейных ОДУ, структуре общего решения. Принцип суперпозиции.

Фундаментальная матрица и её свойства. Запись решения однородной и неоднородной систему через фундаментальную матрицу.

Метод вариации постоянных для поиска частного решения линейной неоднородной системы ОДУ.

ФСР линейной однородной системы ОДУ с постоянными коэффициентами в общем случае.

Связь вида ФСР с видом Жордановой формы матрицы системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента и решение системы ОДУ.

Выделение действительных решений линейной однородной системы ОДУ с постоянными действительными коэффициентами.

Линейное ОДУ n-ого порядка. Задача Коши. Эквивалентность линейного ОДУ n-ого порядка линейной системе ОДУ в нормальной форме.ТСЕ решения задачи Коши для линейного ОДУ n-ого порядка.

Критерий линейной зависимости (независимости) систем функций. Линейное пространство решений однородного линейного ОДУ n-ого порядка, его размерность.

ФСР линейного однородного ОДУ n-ого порядка и структура его общего решения. Уравнение Эйлера и Лагранжа.

Формула Остроградского-Лиувилля для системы ОДУ первого порядка и ОДУ n-го порядка.

Структура общего решения линейного неоднородного ОДУ n-ого порядка. Метод вариации постоянных для поиска частных решений линейного неоднородного ОДУ n-ого порядка.

ФСР линейного однородного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.Динамические (автономные) системы.

Основные понятия теории устойчивости.  Устойчивость решения линейной системы.Асимптотическая устойчивость.Теорема об устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами.

Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости нулевого решения.

Исследование устойчивости решения системы по первому приближению. Траектории на фазовой плоскости.

Классификация точек покоя. Исследование траекторий в окрестности точки покоя.

Предельный цикл. Принцип кольца существования предельного цикла. Критерий отсутствия предельных циклов.